Отправлено: 18.04.08 13:02. Заголовок: Б. ПАСКАЛЬ Соображения относительно геометрии вообще. О геометрическом уме и искусстве убеждать

Б. ПАСКАЛЬ Соображения относительно геометрии вообще. О геометрическом уме и искусстве убеждать
Вопросы философии.— 1994.— №6.
О геометрическом уме
Исследование истины может иметь три главных своих объекта:
первый — открытие истины, когда ее ищут,
второй — ее доказательство, когда ею обладают,
и последний — выяснение ее отличия от заблуждения, когда она подвергается проверке.

О первом я здесь не говорю; я рассматриваю специально второй, а он включает в себя и третий. Ведь если известен метод доказательства истины, то известен и метод, посредством которого она отличается от заблуждения, поскольку при проверке, согласуется ли доказательство данной истины с известными правилами доказательства, выясняется, точно ли она доказана.

Геометрия, наиболее совершенно осуществляющая эти три действия, объяснила, в чем заключается искусство открытия дотоле неизвестных истин; это то, что она называет анализом и о чем после стольких превосходных произведений, созданных на эту тему, рассуждать было бы бесполезно.

Метод доказательства уже найденных истин и такого их прояснения, в результате которого их доказательство становится неопровержимым,— вот то единственное, что я хочу дать здесь.
А для этого мне нужно лишь объяснить метод, применяемый для решения этой задачи геометрией, потому что теми примерами, какие она нам показывает, она предписывает — хотя бы при этом не производилось никаких рассуждений — наиболее совершенный образ действий.
А так как искусство доказательства истины состоит из двух главных действий — из доказательства каждого предложения в отдельности и в расположении всех предложений в наилучшем порядке, я описание этого искусства изложил в двух секциях, из которых одна будет содержать правила, которые необходимо соблюдать в геометрических, т. е. методичных и совершенных доказательствах, а вторая * будет содержать правила методичного и совершенного порядка расположения теорем в доказательстве; таким образом, обе секции вместе будут заключать в себе все необходимое для рассуждения, доказывающего истины и располагающего их, правила, которые я намерен здесь изложить полностью.

Секция I О методе геометрических, то есть методичных и совершенных доказательств**
Сделать более понятным поведение, которое должно соблюдаться, чтобы сделать доказательства убедительными, я могу, только объяснив образ действий, которых придерживается геометрия, а в совершенстве выполнить это я не могу, не дав прежде понятия о еще более высоком, еще более совершенном методе, которого, однако, люди никогда не смогут достичь потому, что все, что превышает геометрию, превышает нас; и, тем не менее, о нем надо кое-что сказать, хотя на деле прибегнуть к нему, а тем более успешно пользоваться методом, более высоким и более совершенным, чем метод геометрии, невозможно.

Я избрал для решения своей задачи эту науку не только потому, что лишь она одна знает истинные правила рассуждения и, не останавливаясь на правилах силлогизмов, которые так естественны, что не знать их невозможно, сосредоточивает свое внимание и основывается на истинном методе рассуждений, касающихся всех вопросов, методе, которого никто не знает, знать же который настолько полезно, что на своем опыте мы видим, что среди равных умов, того, кто владеет геометрией, эта наука продвигает настолько далеко, что он оказывается вооруженным совершенно новой силой.

Я хочу сделать понятным, что доказательство на примере доказательств геометрии, являющейся почти единственной человеческой наукой, оперирующей доказательствами потому, что лишь одна она соблюдает научный метод, в то время как все прочие науки в силу естественной необходимости дают знания, в которых есть своего рода неясность (замешательство, confusion), распознавать которую необычайно хорошо умеют только геометры.

Истинный метод, применяющий доказательства самого высокого совершенства, если бы достичь его было возможно, состоял бы в соблюдении двух главных требований: первого — не употреблять ни одного термина, смысл которого перед употреблением не был бы строго определен; второго — никогда не выдвигать ни одного положения, которое не было бы доказано посредством уже известных истин; одним словом, определять все термины и доказывать все положения. Но чтобы следовать порядку, который я объясняю, надо, чтобы я объявил, что я понимаю под определением.

В геометрии признаются только определения, которые логика называет определениями имен, т. е. только применение имен к вещам, которые самым ясным образом описаны посредством выражений в совершенстве известных; и лишь о таких только определениях я и говорю.

Их полезность и их употребление состоят в прояснении и сокращении рассуждения, выражая одним именем то, что может быть сказано несколькими словами; таким образом, однако, что данное имя оказывается освобожденным от всякого иного смысла (если оно его имело), не обладая никаким иным смыслом, кроме того, ради которого оно предназначено в определении. Вот пример: если возникает нужда отличить среди чисел те, которые делятся на два равных числа, от тех, которые таковыми не являются, то, чтобы избегнуть частого повторения этого условия, таким числам дается особое имя: я называю всякое число, которое делится на два равных, четным.

Вот геометрическое определение: так как после ясного описания объекта, а именно числа, которое делится на два равных числа, ему дается имя, лишенное всякого другого смысла (если таковой был), с тем чтобы только описанный объект носил это имя.

Из сказанного видно, что, давая определение, мы совершенно свободны, что определения не суть нечто такое, что можно оспаривать, потому что ясно описанному объекту больше, чем чему-либо другому разрешается давать любое, какое угодно имя; надо только остерегаться, чтобы свободой установления имен не злоупотребляли, давая одно и то же имя двум различным объектам.

Дело не в том, что так делать не разрешается; важно лишь одно: чтобы не смешивались следствия и чтобы следствие, справедливое для одного объекта не распространялось на другой, называемый тем же именем.

Но если этот изъян все же допущен, можно для его преодоления применить подлинное и безошибочное средство: мысленно подставить на место определяемого определение и постоянно держать перед собой его таким образом, чтобы, например, каждый раз, когда речь идет о четном числе, было в точности понятно, что это число, делимое на две равные части, и чтобы эти два объекта — определяемое и определение — оказывались так неотделимо друг с другом соединенными, что, когда в рассуждении выступает один из них, тотчас же немедленно ум присоединяет к нему второй. Ведь при этом устанавливается, что ум постоянно подставляет на место полных определений краткие термины, употребляемые только для того, чтобы избежать путаницы (confusion), вызываемой многочисленностью слов.

Ничто так быстро и так сокрушительно не поражает захваченных врасплох коварных софистов, как этот метод, который необходимо постоянно иметь наготове и которого одного достаточно для устранения всякого рода затруднений и двусмысленностей.

Раз этот вопрос хорошо понят, я возвращаюсь к объяснению истинного порядка, который, как я говорил, состоит в том, чтобы все определять и все доказывать. Продолжая свои исследования все дальше и дальше, мы с необходимостью приходим к первичным словам, которые определить уже невозможно, и к принципам, столь ясным, что найти принципы более ясные, пригодные для доказательства, невозможно.

Отсюда видно, что естественная и непреложная необходимость делают для людей соблюдение при обсуждении какого-либо знания совершенного порядка невозможным.

Но из этого не следует, что надо отказаться от какого бы то ни было порядка. Ведь один порядок, порядок геометрии, существует; он, правда, ниже абсолютно совершенного порядка в том отношении, что он менее убедителен, но не в том, что он менее достоверен. Он не определяет всего и не доказывает всего, и в этом отношении он уступает абсолютно совершенному порядку. Но он признает лишь то, что ясно и постоянно для естественного света[2], и потому он есть совершенно истинный порядок и если его недостаточно поддерживает рассуждение, то его поддерживает природа. Этот порядок, для людей самый совершенный, не состоит ни в том, чтобы все определять и все доказывать, ни в том, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать. Он заключается в том, чтобы придерживаться средней линии — не определять то, что ясно и понятно всем людям и определять все остальное. Против этого порядка грешат в равной мере и те, которые пытаются все определять и все доказывать, и те, которые пренебрегают определением и доказательством того, что само по себе не очевидно.

Таково то, что решительно предписывает геометрия. Она не определяет ни одного из таких объектов, как пространство, время, движение, число, равенство и подобных им объектов, число которых велико, потому что для людей, понимающих язык, на котором произносятся слова, обозначающие эти объекты, данные термины описывают то, что они обозначают, так естественно, что просветление, которое пожелают внести, разъясняя их, принесет больше затемнения их смысла, чем разъяснения.

Ведь нет ничего более беспомощного, чем рассуждения тех, кто желает определить первичные слова. Какая есть необходимость в том, чтобы объяснять, что понимается под словом человек! Разве не достаточно известно, какой объект хотят описать этим термином? Какое полагал доставить нам преимущество Платон, говоря, что это — двуногое животное без перьев? Как будто то понятие, которое я естественно об этом имею и которого словами не могу выразить, не является более отчетливым и более несомненным, чем то, которое он мне дает своим объяснением, бесполезным и даже смехотворным, поскольку человек, потеряв обе ноги, не перестает быть человеком, а каплун, лишившись перьев, не становится человеком.

Есть люди, доводящие объяснение слова посредством самого этого слова до бессмыслицы. Я знаю некоторых, которые определяли свет следующим образом:

«Свет есть световое движение светящихся тел», как будто можно понимать слова «световое» и «светящееся» не понимая слова «свет».

Невозможно, не приходя к бессмыслице, дать определение бытию, потому что невозможно определить смысл какого-либо слова, не начав со слов «это есть», высказываются ли эти слова или подразумеваются. Следовательно, чтобы определить бытие, надо было бы сказать «это есть» и тем самым употребить в определении определяемое слово.

Из сказанного достаточно ясно видно, что существуют слова, смысл которых не может быть определен, и если бы природа не восполнила этот пробел одинаковым понятием, которое она дала об этих объектах всем людям, все наши выражения были бы неясными (confuses); между тем данные слова употребляются с той же уверенностью и с той же достоверностью, как если бы они были объяснены способом, исключающим какие-либо двусмысленности, потому что природа сама дала нам без слов понимание более отчетливое, чем то, которое доставляет нам посредством объяснений искусство.

Не о сущности вещей говорю я, что все люди имеют о ней одинаковое понятие и что невозможно и бесполезно эту сущность определять. Ведь время, например, принадлежит к числу объектов, не поддающихся определению. Кто же может его определить? И зачем пытаться его определять, раз все люди понимают, что хотят сказать, говоря о времени, без того, чтобы им объясняли, что под этим словом имеется в виду? Вместе с тем существует много различных мнений о сущности времени. Одни говорят, что это — движение сотворенной вещи; другие — что это мера движения и т. д. Не о природе вещей говорю я, что она известна всем: я говорю всего лишь об отношении между именем и объектом. Таким образом, к выражению «время» все относят мысль об одном и том же объекте, чего достаточно, чтобы этот термин не нуждался в определении, хотя затем, исследуя, что же такое время, люди приходят к различным взглядам. Ведь определения создаются только для описания отдельных объектов, а не для того чтобы показать их природу.

Это не означает, что назвать именем «время» движение какой-либо сотворенной вещи не разрешается, потому что, как я уже только что говорил, ни в чем мы не обладаем большей свободой, чем в создании определений.

Но после создания данного определения будет два объекта, называемых именем «время»: один — то, что все люди естественно понимают под этим словом и который все, говорящие на нашем языке, называют этим именем; вторым же таким объектом будет движение какой-либо сотворенной вещи, так как его тоже будут называть словом «время», следуя этому новому определению.

Надо будет, значит, избегать двусмысленностей и не смешивать различных следствий, какие влекут за собой два различных объекта —• ведь из сказанного вовсе не следует, что объект, естественно понимаемый под словом «время», в действительности есть движение какой-либо сотворенной вещи. Мы располагаем свободой одинаково называть эти два объекта, но мы не вольны устанавливать природу их так, как мы вольны устанавливать их имя.

Так что если выдвигается рассуждение: «Время есть движение какой-нибудь сотворенной вещи», то необходимо спросить, что здесь понимается под словом «время», т. е. остается ли обычный, общепринятый его смысл, или же данное слово освобождается от общепринятого смысла и получает в этом случае смысл «движения какой-либо сотворенной вещи». Если данное слово здесь лишается всякого иного смысла, кроме смысла «движения какой-либо сотворенной вещи», то против этого ничего нельзя возразить, и это будет свободно созданное определение, после образования которого, как я говорил, перед нами окажутся два объекта, имеющих одно и то же имя. Но если этому слову сохраняется его обычный смысл, и тем не менее утверждается, что то, что понимается под этим словом, это — движение какой-либо сотворенной вещи, то данное утверждение можно оспорить. Это уже не свободно установленное определение, а утверждение (предложение, proposition), которое необходимо доказать, если оно не является само по себе совершенно очевидным (тогда это утверждение окажется принципом и аксиомой), но никогда оно не будет определением, потому что из его формулировки не видно, что слово «время» обозначает тот же объект, что слова «движения какой-либо сотворенной вещи», но в ней утверждается, что постигаемое нами посредством термина «время» есть данное предполагаемое движение.

Если бы я не знал, насколько необходимо все это понимать в совершенстве и сколько случаев, подобных тому, пример которого я привел, ежечасно встречается в обыкновенных и научных рассуждениях, я на этом не останавливался бы. Но мне кажется, по имеющемуся у меня опыту путаницы, возникающей во время диспутов, что более глубокое рассмотрение, дух точности (nettete), ради которого я создаю весь этот трактат, будет нелишним для обсуждаемой мною темы.

Ведь сколько есть лиц, полагающих, что они определили время, когда сказали, что оно есть мера движения, сохраняя в то же время обыкновенный смысл этого слова. Однако то, что они выдвинули, есть утверждение (предложение proposition), а не определение (definition). Сколько есть также лиц, полагающих, что они определили движение, сказав: «Motus пес simpliciter actus, пес mera potentia est, sed actus entis en potentia»[3]. Между тем, если они при этом оставляют за словом «движение» его обычный смысл (а именно так они поступают), то приводимая ими формулировка есть не определение, а утверждение, и смешивая, таким образом, определения, которые они называют определениями имен, определения, устанавливаемые действительно свободно, определения разрешенные и геометрические, с тем, что они называют определениями вещей, с высказываниями, которые, собственно, являются утверждениями, которых свободно устанавливать никоим образом нельзя и которые могут быть оспариваемы; они присваивают себе такую же свободу установления данных положений, какой мы располагаем при установлении определений. В такой ситуации, при которой каждый на свой лад определяет одну и ту же вещь, и в этом отношении допускается такая же свобода, какая разрешается при установлении подлинных определений, они, утрачивая всякий порядок и какую бы то ни было ясность, сами теряются, заблудившись среди препятствий, не поддающихся объяснению.

В такую ситуацию никогда не попадешь, следуя порядку геометрии. Эта здравомыслящая наука очень далека от того, чтобы определять первичные слова — пространство, время, движение, равенство, больше, меньше, все, которые сами по себе всем понятны. Но за исключением этих слов все остальные термины, которые она употребляет, ею так выяснены и определены, что нет нужды в словаре, чтобы понять любой из них; так что, одним словом, все эти термины в совершенстве постижимы либо посредством естественного света, либо посредством определений, которые им дает геометрия.

Вот каким способом она избегает всех пороков, которые могут возникнуть в первый момент, когда определяются только те объекты, которые необходимы в начале исследования. Геометрия пользуется этим же способом и в следующий момент, заключающийся в доказательстве положений, которые не очевидны.

Ведь когда она подходит к первым общеизвестным истинам, она останавливается и требует, чтобы с ними согласились, поскольку нет ничего более ясного, что могло бы их доказать. Так что все, что предлагает геометрия, в совершенстве доказано либо посредством естественного света, либо посредством доказательств.

Отсюда следует, что если эта наука и не определяет и не доказывает всего, что она утверждает, то это происходит по той единственной причине, что определять и доказывать все для нас невозможно. Но поскольку природа предоставила нам все то, чего эта наука не дает, порядок этой науки обладает лишь человеческим совершенством, но этот порядок обладает всем совершенством, какого могут достичь люди. Мне казалось уместным дать при введении это рассуждение...

Может быть, найдут странным, что геометрия не может определить ни одного из объектов, являющихся ее главными предметами: ведь она не может определить ни движение, ни число, ни пространство. А между тем именно эти три объекта она в особенности рассматривает и в соответствии с исследованием этих объектов она получает три различные названия — механики, арифметики и геометрии; этим последним именем называется и весь род, и его вид.

Не будет ничего удивительного, если будет замечено, что в этой замечательной науке, занимающейся только простейшими объектами, именно эта простота, делающая их достойными быть ее предметами, делает невозможным их определение. Так что отсутствие их определений есть скорее совершенство, нежели недостаток, потому что оно имеет место не из-за того, что понятия об этих объектах темны, а наоборот, из-за крайней их очевидности, которая такова, что хотя они не обладают убедительностью доказательств, они обладают всей их достоверностью. Таким образом, геометрия предполагает, что известно, какие объекты понимаются под словами — движение, число, пространство — и, не останавливаясь на бесполезных попытках их определить, проникает в их природу и обнаруживает в них чудесные свойства.

Три этих объекта, заключающие в себе всю Вселенную, согласно словам:

Deus fecit omnia in pondere, in numero, in mensurae[4], находятся во взаимной необходимой связи друг с другом. Ведь невозможно представить себе движение без какого-нибудь движущегося объекта, а из того, что это — один объект, единица, происходят все числа; наконец, так как движение невозможно без пространства, обнаруживается, что все три объекта содержатся в первом из них.

В нем же содержится время, потому что движение и время соотносительны друг с другом, поскольку скорость и медленность то, чем отличаются друг от друга различные движения, находятся в необходимом отношении к времени.

Таким образом, у всех этих объектов есть общие им свойства, познание которых открывает уму величайшие чудеса природы. Главное из них заключается в двух бесконечностях, встречающихся повсюду: бесконечности вширь, наличие того, великость чего безгранична, и бесконечности вглубь, наличие того, малость чего безгранична.

Ведь каким бы скорым ни было какое-нибудь движение, можно понять, что есть более скорое движение, но и это последнее тоже может быть ускорено, и так все время, до бесконечности; мы никогда не можем прийти к такому движению, к скорости которого нельзя было бы ничего прибавить. И наоборот, каким бы медленным ни было какое-нибудь движение, можно его замедлить, а это последнее еще замедлить, и никогда не достигается такая степень медленности, которой нельзя было бы уменьшить, бесконечно нисходя к все большим степеням медленности, но не достигая покоя. Точно так же, каким бы большим ни было число, можно придумать большее число, и такое, которое превосходит последнее, и так до бесконечности, никогда не приходя к числу, которого невозможно было бы увеличить. И наоборот, каким бы маленьким ни было число, как сотая и десятитысячная часть, можно придумать еще более малое число, и так до бесконечности, не приходя к нулю или к ничто.

И так же, каким бы большим ни было пространство, можно себе представить пространство, большее, чем это, а затем — еще большее и так до бесконечности, никогда не приходя к пространству, которого невозможно было бы увеличить. И наоборот, каким бы малым ни было какое-нибудь пространство, можно рассмотреть еще меньшее и еще меньшее и так до бесконечности, никогда не приходя к неделимому пространству, которое было бы вовсе лишено протяженности.

И точно так же дело обстоит со временем. Всегда можно представить себе более длительное время, никогда не приходя к последнему, больше которого быть не может; и всегда можно себе представить время, меньшее, чем любое, самое малое, никогда не приходя к мгновению, которое было бы вовсе лишено длительности.

Одним словом, какое бы движение, какое бы число, какое бы пространство, какое бы время ни было, всегда есть более скорое движение, большее число, большее пространство, большее время и всегда есть менее скорое движение, меньшее число, меньшее пространство, меньшее время, таким образом, что все они расположены между ничто и бесконечностью, будучи всегда бесконечно удаленными от этих крайностей.

Все эти истины могут быть доказаны, тем не менее, они являются основаниями и принципами геометрии. Но поскольку причина того, что они не могут быть доказаны, заключается не в их неясности, а, напротив, в их крайней очевидности, отсутствие их доказательства является не их дефектом, а скорее их совершенством.

Из сказанного явствует: геометрия не может ни определить свои объекты, ни доказать свои принципы, но происходит это по той единственной выгодной для нее причине, что и тем, и другим присуща крайняя естественная ясность, убеждающая гораздо сильнее, чем рассуждение.

Разве есть что-либо более очевидное, чем истины, гласящие, что число, каким бы оно ни было, может быть увеличено? Разве нельзя любое число удвоить? Разве что-нибудь более очевидно, чем то, что скорость какого-нибудь движения можно удвоить и что точно так же можно удвоить любое пространство?

Кто может сомневаться, что число, каким бы оно ни было, можно разделить пополам? Разве половина какого угодно малого числа будет представлять собой ничто? Как же две его половины, будучи нулями, соединившись, образуют число?

Точно так же разве нельзя движение, сколь бы медленным оно ни было, замедлить так, что оно станет проходить то же пространство в течение вдвое большего времени, а последнее движение, в свою очередь, вдвое замедлить?

И разве невозможно пространство, каким бы маленьким оно ни было, разделить надвое, а эти половины опять разделить надвое? И может ли получиться так, 'чтобы эти половины стали неделимыми, лишенными какой бы то ни было протяженности, половины, которые, будучи соединены друг с другом, образуют пространство, с деления которого мы начали?

У человека нет естественного познания, которое было бы достовернее познания этих 'истин, которое своей ясностью превосходило бы их. Тем не менее находятся умы, во всем прочем превосходные, которых эти бесконечности шокируют, умы, которые никак не могут согласиться с тем, что данные бесконечности существуют.

Я никогда не встречал ни одного лица, которое полагало бы, что какое-нибудь пространство может быть увеличено. Но я видел некоторых, во всем прочем весьма благоразумных людей, утверждавших, каким бы бессмысленным ни было это утверждение, что пространство может быть разделено на неделимые части.

Я взялся за исследование того, в чем могла бы заключаться причина этого заблуждения, и нашел, что есть только одна главная его причина,— они не могут представить себе чего-нибудь, делимого до бесконечности, из чего они заключают, что ничего бесконечно делимого нет.

Вера в то, что он владеет истиной непосредственно,— естественная болезнь человека. Вследствие этого он всегда расположен отрицать все, что ему непонятно, в то время как в действительности ему естественно известны лишь вымыслы и он должен принимать за истинное лишь то, противоположность чего выступает перед ним как явное заблуждение.

Вот почему каждый раз, когда какое-нибудь положение нам непонятно, надо не отрицать его на этом основании, а воздержаться от суждения и исследовать положение, противоположное тому, которое нам предложено, и если будет найдено, что положение, противоположное предложенному нам суждению, явно ложно, можно смело утверждать, что предложенное нам положение верно, каким бы непонятным оно ни было.

Применим это правило к нашей проблеме.

Нет геометра, который не считал бы, что пространство делимо до бесконечности. Без этого принципа так же невозможно быть геометром, как невозможно быть человеком без души. И тем не менее среди них нет таких, которые понимали бы бесконечное деление, и в этой истине может убедить тот единственный и несомненно достаточный довод, что мнение, будто при делении пространства можно дойти до части пространства, лишенной какой бы то ни было протяженности, это мнение, как в совершенстве понятно, ложно.

Ведь что может быть бессмысленнее утверждения, что при разделении пространства на все более мелкие части достигается в конце концов такое деление, при котором, разделяя участок пространства надвое, мы получим две его половины, неделимые, лишенные какой бы то ни было протяженности? Я хотел бы спросить тех, кто придерживается этого взгляда, представляют ли они себе отчетливо, что две неделимые части пространства соприкасаются; если они прикасаются друг к другу повсюду, то это не две части, а одна, если же они прикасаются друг к другу не повсюду, а лишь какой-то своей частью, значит, они состоят из частей, значит, они не неделимы.

А если люди, признающие существование неделимых частей пространства, признаются (как они действительно делают, будучи вынуждены это сделать), что положение, которого они придерживаются, так же невозможно себе представить, как и противоположное положение, то они должны также признать, что судить о чем-либо следует не по тому, можем ли мы это представить или не можем, и поскольку невозможно себе представить утверждаемое в обоих противоположных положениях, необходимо достоверно, что одно из них истинно.

Но этим химерическим затруднениям, соответствующим лишь нашей слабости, противостоит естественная ясность следующих, по-видимому, неоспоримых истин: если бы было истинным, что пространство состоит из определенного числа конечных неделимых частей, то отсюда следовало бы, что каждое из двух пространств, являющихся квадратами (т. е. такими, у которых все стороны равны), будучи двойником такого же другого, содержало бы то же число неделимых частей, что и другое. Пусть возражающие мне хорошо запомнят это следствие. А затем пусть они станут рассматривать одну за другой точки в этих квадратах, пока им не встретятся две точки, одна из которых является двойником другой точки, находящейся в другом квадрате. Если им это удастся, я заставлю всех геометров на свете уступить им. Но если сделать это невозможно (т. е. если существует непреодолимая невозможность расположить квадраты точек так, чтобы один был двойником другого, что я доказал бы здесь, если бы дело заслуживало того, чтобы на нем останавливаться), то пусть возражающие мне сделают вытекающий из этого вывод.

А чтобы для тех, кто со мной не согласен, облегчить трудности, с которыми они сталкиваются, в частности, необходимость представить себе, что пространство состоит из бесконечного множества бесконечно делимых частей; что в течение короткого конечного времени может быть пройдено бесконечное множество делимых частей пространства, надо их предупредить, что они не должны сравнивать столь несоизмеримые объекты, как бесконечное множество делимых частей пространства и то небольшое время, за которое движущееся тело может его пройти; но пусть они сравнивают все пространство со всем временем и бесконечное множество делимых частей пространства с бесконечным множеством делимых мгновений времени; тогда они поймут, что бесконечное множество делимых частей пространства проходится за бесконечное множество делимых мгновений времени, а небольшое пространство проходится за небольшое время, и в этом они не найдут той несоразмерности, которая их удивила.

Наконец, если находят странным, что в малом пространстве содержится столько же частей, столько и в большом, пусть примут во внимание, что в первом случае части соответственно меньше и чтобы сделать для себя приемлемым познание данного явления, пусть посмотрят на небесный свод. Нет иного средства, нежели дать им посмотреть на него ск ...