Отправлено: 18.04.08 13:02. Заголовок: Б. ПАСКАЛЬ Соображения относительно геометрии вообще. О геометрическом уме и искусстве убеждать

... возь подзорную трубу, увеличивающую мельчайшую точку до колоссальных размеров; тогда они легко поймут, что с помощью другого стекла, более совершенно отшлифованного, можно было бы увеличить рассматриваемый объект до размеров всего небесного свода, протяженностью которого они поражены. Так что теперь эти объекты покажутся им очень легко делимыми, когда они вспомнят, что природа способна совершать дела, бесконечно большие, чем те, какие может совершать наше искусство.

Ведь в конце концов, кто убедил их в том, изменили ли эти стекла естественную величину данных объектов, или, наоборот, они восстановили их истинную величину, которую форма нашего глаза изменила и уменьшила так же, как это делают подзорные трубы, уменьшающие рассматриваемые объекты?

Неприятно останавливаться на этих мелочах, но приходит время, когда и пустяками заниматься приходится.

Тем, кто ясно мыслит об этих вопросах, достаточно сказать, что два отсутствия протяженности, соединившись, не могут образовать протяженность. Но так как есть люди, утверждающие, что им удалось обойти эту истину посредством удивительного заявления, что два отсутствия протяженности могут так же образовать протяженность, как две единицы, из которых ни одна не есть число, соединяясь, образуют число, то этим людям надо указать, что с таким же успехом они могли бы заявить, что двадцать тысяч человек образуют армию, хотя ни один из них не есть армия; что тысяча домов образуют город, хотя ни один из них не есть город, или что части, соединившись, образуют целое, хотя ни одна из них не есть целое, или — чтобы остаться в области сравнений с числами — что две двойки образуют четверку, хотя каждая из них не есть четверка, десять десятков образуют сотню, хотя ни одна из них сотней не является.

Но смешивать посредством сравнений столь отличные друг от друга объекты, как непоколебимая природа вещей и их имена, устанавливаемые свободно и произвольно, имена, зависящие от каприза людей, их установивших, значит, поступать совершенно неправильно. Ведь ясно, что, для того чтобы легче было рассуждать, двадцати тысячам людей дали имя «армия», множеству домов — имя «город», десяти единицам — имя «десяток», и что из этой свободы в установлении имен рождаются имена — единица, двойка, четверка, десяток, сотня, имена, различные благодаря нашему воображению; хотя по своей неизменной природе эти объекты принадлежат к одному роду и соизмеримы, лишь более или менее отличаясь друг от друга и, называясь своими именами, двойка не есть четверка, дом не есть город, точно так же, как город не есть дом. Но хотя дом не есть город, он не есть и отсутствие города. Есть существенная разница между тем, чтобы не быть каким-нибудь объектом, и тем, чтобы быть отсутствием этого объекта.

Ведь чтобы была понятна суть дела, надо знать, что единственной причиной того, что единица не возведена в ранг числа, является то, что Евклид и первые авторы, занимавшиеся арифметикой, которые должны были указать некоторые свойства, присущие всякому числу, кроме единицы, встретившись с этим условием, исключили единицу из значения слова «число», пользуясь свободой, которой, как уже было сказано, мы обладаем, устанавливая определения по своему усмотрению. Так что если бы они захотели, то исключили бы из чисел двойку, тройку и все, что сочли бы нужным. Ведь в этом деле мы — господа, лишь бы было сделано соответствующее предупреждение.

Но тот же Евклид, лишивший единицу имени числа (что ему было разрешено), чтобы дать понять, что единица не есть ничто, что она принадлежит к тому же роду, что и числа, следующим образом определяет подобные величины:

«Величины,— говорит он,— называются принадлежащими к одному и тому же роду, когда одна из них, будучи умножена в несколько раз, может достичь таких размеров, что превзойдет другую». Поскольку единица, будучи в несколько раз умножена, может превзойти какое угодно число, она, следовательно, по своей сущности, по неизменной своей природе принадлежит к тому же роду, что и числа, именно в том смысле, который ей придавал тот же Евклид, пожелавший, чтобы она не называлась числом.

Но не так обстоит дело с неделимым в отношении протяженности, ибо от последней оно отличается только своим именем, которое произвольно, но родом, к которому оно принадлежит, согласно тому же определению, поскольку неделимое, будучи умножено сколько угодно раз, так далеко от способности превзойти какую-нибудь протяженность, но всегда может образовать только одно-единственное неделимое, что, как было уже показано, естественно и необходимо. А так как последний довод основан на определении обоих объектов — неделимого и протяженности — он приводит к окончательному завершению доказательства.

Неделимое есть то, что не имеет никаких частей, а протяженность есть то, что состоит из различных отдельных частей.

На основании этих определений я говорю, что два неделимых, будучи объединены, не образуют протяженности.

Ведь когда они объединены, каждое из них касается другого одной своей частью, и, таким образом, их части не являются отдельными, поскольку в противном случае они бы не касались. Однако, согласно их определению, неделимые не имеют частей, значит, они не являются протяженностью вследствие определения протяженности, в котором устанавливается, что она состоит из различных частей.

Этим же доводом будет показано то же самое в отношении других неделимых, которые к ним будут присоединены. Отправляясь от неделимого, умножая его сколько угодно раз, мы никогда не получим из него протяженности. Значит, неделимое не принадлежит к тому же роду, что и протяженность, согласно определению этого рода.

Вот как доказывается, что неделимое не принадлежит к тому же роду, к которому принадлежат числа. Значит, две единицы могут образовать число потому, что они принадлежат к тому же роду, что и числа, а два неделимых не образуют протяженности, так как они не принадлежат к тому роду, к которому принадлежит протяженность.

Отсюда видно, сколь мало оснований сравнивать отношение между единицей и числами с отношением между неделимым и протяженностью.

Но если желают взять среди чисел сравнение, правильно репрезентирующее то, что мы находим в протяженности, надо, чтобы это было отношение нуля к числам; ведь нуль не принадлежит к тому же роду, что и числа, ибо если его подвергнуть умножению, он не может превзойти число. Так что это — подлинное неделимое число, подобно тому как неделимое пространство — подлинный нуль протяженности. Подобное отношение мы найдем между покоем и движением, между мгновением и временем; ибо все эти объекты по своей величине разнородны, потому что первые, будучи бесконечно умножены, никогда не смогут стать вторыми так же, как неделимые пространства не могут стать протяженностью, и по той же причине. При этом обнаружится совершенное соответствие между этими объектами, потому, что все эти величины делимы до бесконечности и не состоят из неделимых, так что все они занимают среднее положение между бесконечностью и ничто (neant).

Таково дивное отношение, установленное природой между этими объектами и две удивительные бесконечности, невозможно себе представить и которым приходится изумляться. А чтобы закончить их рассмотрение последним замечанием, прибавлю, что две эти бесконечности, хотя и бесконечно отделены друг от друга, тем не менее соотносительны, так что познание одной с необходимостью ведет к познанию другой.

Ведь из того, что числа могут всегда быть увеличены, безусловно следует, что всегда они могут быть уменьшены; это совершенно ясно потому, что если, например, можно число умножить на 100000, можно также взять стотысячную часть числа, разделив его на то же число, на которое его умножали, и, таким образом, любой предел умножения станет пределом деления, превращая целое в дроби. Так что бесконечное умножение заключает в себе бесконечное деление.

То же отношение между двумя противоположными бесконечностями обнаруживается и в пространстве, т. е. из того, что оно может быть бесконечно расширено, следует, что оно может быть бесконечно уменьшено, как видно из следующего примера. Если сквозь стекло рассматривается судно, все время удаляющееся прямо от нас, ясно, что прозрачное место, сквозь которое мы видим какую угодно точку судна, будет постоянно становиться все выше по мере того, как корабль будет удаляться. Значит, если курс корабля все время до бесконечности будет оставаться тем же самым, эта точка будет непрестанно становиться все выше и, однако, она никогда не достигнет того места, в какое попадает горизонтальный луч, идущий от глаза к стеклу, так что эта точка будет все время приближаться к данному месту, никогда его не достигая, непрестанно разделяя на все более мелкие отрезки протяженность, остающуюся ниже этого места, но никогда этого места не достигая. Отсюда с необходимостью вытекает вывод, что при бесконечном сохранении курса корабля протяженность места, остающегося ниже точки, в которую упирается горизонтальный луч нашего зрения, эта крайне маленькая протяженность, будет подвергаться бесконечному делению на все более мелкие отрезки.

Те, которые не будут удовлетворены такими доводами и которые останутся при своей вере в то, что пространство неделимо до бесконечности, не могут ничего возразить против геометрических доказательств; и хотя они могут быть просвещенными в других областях, они окажутся мало осведомленными в этой, потому что можно быть весьма знающим человеком, но плохим геометром.

Но те, которые ясно увидят эти истины, могут восхищаться величием и могуществом природы, проявляющемся в этой двоякой бесконечности, окружающей нас со всех сторон и усвоить поразительные соображения в отношении познания самих себя, видя себя помещенными между бесконечностью и ничто протяженности, между бесконечностью и ничто числа, между бесконечностью и ничто движения, между бесконечностью и ничто времени. Посредством этого можно научиться познавать подлинную цену самого себя и прийти к размышлениям, которые стоят больше, чем все остальное в геометрии.

Я считал себя обязанным привести столь длинное рассуждение, имея в виду тех первоначально не понимавших этой двоякой бесконечности людей, которых можно убедить в ее существовании. И хотя есть некоторые люди, просвещенные достаточно, чтобы обойтись без этого рассуждения, тем не менее, может оказаться, что данное рассуждение, необходимое для одних, будет небесполезным и для других.